Chi-Quadrat-Test

Der Chi-Quadrat-Test wird zur Überprüfung von Häufigkeitsverteilungen eingesetzt, also bei Variablen mit nominalem Skalenniveau. Eine typische Anwendung wäre die Beantwortung der Frage, ob Männer häufiger als Frauen Brillenträger sind oder ob Brillenträger häufiger männlichen oder weiblichen Geschlechts sind. Jede Person hat zwei Merkmale: Das Tragen einer Brille und das Geschlecht. Mit dem Chi-Quadrat-Test wird die Hypothese überprüft, ob die beiden Merkmale voneinander unabhängig sind. Da beim Chi-Quadrat-Test nur Häufigkeiten verglichen werden, ist es bei diesen Tests egal, was als unabhängige und was als abhängige Variable angesehen wird. Von 100 Männern tragen 50 (50%) eine Brille und von 100 Frauen nur 30 (30%).

Das Vorgehen ist eigentlich einfach: Aus den beiden Merkmalen im Beispiel mit je zwei Kategorien resultieren vier Teilgruppen, für die man die beobachteten Häufigkeiten in eine Kreuztabelle einträgt. Dann wird die Häufigkeit bestimmt, die zu erwarten wäre, wenn die beiden Merkmale völlig unabhängig voneinander wären. Die erwartete Häufigkeit für Brillenträger beträgt je 40 für Männer und Frauen. Die Zahl aller Brillenträger geteilt durch die Zahl aller Teilnehmer der Untersuchung (80/200 = 0,4) wird mit der Zahl Männer bzw. Frauen multipliziert (0,4 x 100 = 40). Die erwartete Häufigkeit für Brillenträger beträgt demnach jeweils 40 für Männer und Frauen und für Nicht-Brillenträger jeweils 60 bei Männern und Frauen. Dann wird für jedes der vier Felder die Differenz aus beobachteten und erwarteten Häufigkeiten gebildet, quadriert und durch die erwartete Häufigkeit geteilt (für männliche Brillenträger z.B. (50 - 40)**2 / 40 = 100/40 = 2,5). Der Chi-Quadrat-Wert wird dann durch die Summe der entsprechenden Werte für alle vier Zellen gebildet. Für das Beispiel ergibt sich ein Chi-Quadrat von 8,333. Da eine Vierfeldertafel immer einen Freiheitsgrad hat, ist p = 0,004. In den meisten Statistiklehrbüchern gibt es entsprechende Tabellen, wo man für jeden Chi-Quadrat-Wert die entsprechende Signifikanz p ablesen könnte (für p = 0,05 muß Chi-Quadrat 3,841 und für p=0,01 6,63 sein). Die üblichen Statistikprogramme "spucken" den Wert immer mit aus.
Allgemein üblich ist es, einen p-Wert von weniger als 0,05 mit "signifikant" und von weniger als 0,01 mit "sehr signifikant" zu bezeichnen. In einigen Fällen werden p-Werte von weniger als 0,10 darüber hinaus "grenzwertig signifikant" genannt. Der Unterschied im Beispiel ist also sehr signifikant, d.h. mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit gibt es in der Grundgesamtheit einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und dem Tragen einer Brille. Wenn Sie möchten, können Sie dieses Beispiel hier online rechnen.

Wenn man das Sehhilfen-Merkmal allgemeiner faßt und außer Brillen- noch Kontaktlinsenträger erfaßt, wird kann ebenfalls ein Chi-Quadrat-Test gerechnet werden - allerdings mit 6 Feldern. Das Vorgehen ist identisch; lediglich andere Freiheitsgrade treten auf. Die Zahl der Freiheitsgrade, abgekürzt df 'degree of freedom', wird durch die Summe der Zahl der Kategorien für die beiden untersuchten Merkmale abzüglich 3 errechnet. Hier als 2 (Geschlecht) + 3 (Sehhilfe) - 3 = 2. Auch hier können Sie ein Beispiel online rechnen.

Ein anderes Brillenbeispiel - allerdings mit durch 5 dividierte Fallzahlen: von 20 Männern tragen 10 (wieder 50%) eine Brille und von 20 Frauen 6 (wieder 30%). Der Chi-Quadrat-Test setzt voraus, daß alle erwarteten Häufigkeiten mindestens 5 betragen und insgesamt mindestens 30 Fälle einbezogen werden. Diese Voraussetzung trifft hier zu, so daß der Test angewendet werden kann. Im neuen Beispiel beträgt der Chi-Quadrat-Wert nur noch 1,667 und der p-Wert beträgt 0,197. Obwohl die gleichen Verhältnisse wie im ersten Beispiel von 50% und 30% Brillenträgern bei Männern und Frauen auftraten, ist der Unterschied nun nicht mehr signifikant. Dies verdeutlicht den engen Zusammenhang zwischen der Fallzahl und der Signifikanz. Wen wunderts da, daß manche großen multizentrischen Studien in der Medizin - mit riesigen Fallzahlen - nur so strotzen vor signifikanten Unterschieden?
Also: Unabhängig davon, ob das Ergebnis signifikant ausfällt oder nicht - Männer tragen in der untersuchten Stichprobe häufiger Brillen. Die Signifikanzüberprüfung drückt nur die Irrtumswahrscheinlichkeit aus, wenn der angetroffene Unterschied auf alle Menschen, d.h. die Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe stammt, verallgemeinert wird.